Le dictionnaire payant Usito classe cet emploi du mot «force» dans le sous-sens «contrainte ou pouvoir de contrainte».

L’idée sous-entendue est celle de la répétition. Les articles consultés n’expliquent pas comment le mot «force» a pu produire cette connotation.

Suivie d’un verbe à l’infinitif, l’expression est un adverbe.

À force de se faire admirer, on deviendrait insupportable.¹

À force de regarder l’horizon sur la mer, j’ai compris.²

Suivie d’un substantif, elle est une préposition.

À force de paroles et de prières, j’ai réussi à les convaincre de la laisser passer quelque temps avec moi.²

La comparaison avec «à la force de/du» est intéressante. Le mot «force» conserve ici le sens original «énergie musculaire». On le trouve dans des expressions comme «à la force du poignet», qui signifie «en fournissant un grand effort». J’ai même trouvé «à la force du bras» à propos du jeu de handball.

Exemples en espagnol :

A fuerza de mirar el horizonte sobre el mar, por fin lo entendí.²
A fuerza de palabras y súplicas, conseguí hacerla volver por una temporada.²

¹ Source (sous-entrée 29 de l’article «force» du dictionnaire Littré).
² Source.