Tout ce qui brille n’est pas d’or, mais se fait quand même remarquer. « Briller par son absence » signifie donc « se faire remarquer par son absence », sauf qu’il y a dans cette expression une petite nuance à découvrir.

D’après le dictionnaire Littré, « briller par son absence, se dit d’une personne assez considérable ou d’une chose assez importante pour que l’absence en soit remarquée ».

Elle brillait par son absence hier, à la conférence de presse.¹

Exemples en espagnol :

El Gobierno escocés no ha hecho más que brillar por su ausencia.²
Esta tarde, el Consejo brilla por su ausencia.³

¹ Source : La Presse (1997) citée dans Usito.
² Source.
³ Source.